​geogebra进阶系列7：利用自定义工具简化迭代的指令（中点四边形）

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今天要研究的是初二学习了三角形的中位线之后的一个考试题：

本文重点谈两个方面：

一、这个相当有趣的图形是怎么准确绘制的呢？

二、这道有趣的问题在数学上如何求解？

先看看问题1：即目标的最终图形绘制的效果如下：

方法有多种！

方法一：（笔者）——利用自定义工具进行迭代

自定义工具如何创建，可参考笔者之前的文章：（点击可打开）

第1步：如下图：

即先随意绘制四个点——绘制多边形q1——绘制四边的中点——绘制多边形q2,

然后利用菜单栏——新建工具，选择输入对象为q1，输出对象为q2，命名为中点四边形，点击确定，就得到一个自定义工具。

得到自定义工具之后，原有的线段和点可以全部删除。

第2步：根据题意，重新绘制符合题意的四边形：

第3步：创建一个整数滑条，范围为1-6，主要ggb迭代的计算量很大，迭代深度不要太多。

第4步：指令：l1=迭代列表(中点四边形(p), p, {q1}, n)

即可得到：

即基本完成绘图任务。

第5步：利用指令：l2=映射({顶点(p)}, p, l1)

来提取上述多边形的顶点。

注意：映射指令有非常重要的作用！

参考笔者的文章：（点击可打开）

第6步：利用指令：序列(映射(文本("{" p "}" "_" + (i - 1), q, true, true), p, {"A", "B", "C", "D"}, q, l2(i)), i, 2, 长度(l2))

给顶点命名。即得到：

反思一：这个命名的指令反而是难点！是赵林老师提出来的，真厉害。

利用了序列+映射+文本的三层嵌套！

有没有简化命名的指令方法呢？

可以！

可以用分步的方法进行（好朋友何道淼老师提出的）：

如：

l4=序列(文本("A_{" k "}", 元素(l2(k + 1), 1) + E, true, true), k, 1, n)

这个指令节省了一个映射的指令，也比较容易理解。

有老师提出：如果一开始自定义工具成这样：

“输入点也可以，输出点和线段，得到不含内部的中点四边形”，事实证明，做出这个自定义工具，也可以手工一个一个点击四个点，不断的产生中点四边形，如下：

但是却无法利用迭代来写指令，为甚？

因为：输入是点，输出是线段和点，那这个输出结果拿来当输入的话，输出的会是啥，这是无法进行迭代的！

即：

迭代的话，输入和输出的东西都应该是一样的。

反思二：

邓兵老师提出：能否利用自有的个点迭代出四个中点？

可以！

但是注意：迭代列表(中点点(p, q, r, s), p, q, r, s, {A, B, C, D}, n)

这个指令绘制的效果是不行的！

出现的效果如下：

这个是多元迭代，我们还读不懂计算机的想法啊！要慎重。

参考：

如何改进呢？

孟宝兴老师提出：

建议迭代考虑由集合到集合；

不要选择一堆对象，选择一个集合！

这是一个非常重要的思想！

于是邓兵老师马上做出效果如下：

关键指令解读：

这个列表2很巧，映射(中点(p, q), p, l1, q, 追加(l1 \ {l1(1)}, l1(1)))

是什么含义？

解读：追加(l1 \ {l1(1)}, l1(1))，这个的意思是先用l1 \ {l1(1)}，去掉a，,其中\是集合运算的减法，剩下bcd，然后追加a,效果变成bcda

这样就可以利用中点指令了，真聪明啊！

剩下描绘顶点也是同方法一，得到：

下面两种方法分别是孙生富老师和赵林老师的，不用自定义工具。

方法三：（孙生富大神）

迭代列表(序列(元素(p,k)/2+元素(p,mod(k,4)+1)/2,k,1,4),p,{{A,B,C,D}},n)

效果如下

注意：动态颜色效果是笔者添加的。

迭代列表或序列产生的是一个整体，只有一个颜色！

但是利用表格提取迭代列表的元素，进行动态颜色，是一个非常有效的方法！

方法四：（赵林大师）

迭代列表(多边形(序列(point(p,i  0.25+0.125),i,0,3)),p,{q1},5)

最后的，四个方法的比较和小结：

孙老师和赵林老师的一个指令做出了效果，和自定义工具相比，各有秋千，利用自定义工具，容易写出迭代列表（指令简短）！

否则，光是想这个指令都费劲脑力！

第二个问题：这道题数学上如何求解？笔者随手写了一个，但打字麻烦，如下：

总而言之：这是一个非常有趣，值得探究的数学问题！

……

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